El sistema MIU como actividad para incrementar el interés y la motivación por las matemáticas

Para la actividad 18 he elegido la opción B, plantear una investigación o algo susceptible de ser publicado en una revista de educación. He elegido un tema que me gusta mucho y desarrollé también en el trabajo de otra asignatura, llegando a presentar algunas actividades en clase.

Se trata del sistema formal MIU, una especie de juego que se puede presentar a los alumnos y alumnas para introducirles a conceptos importantes en los fundamentos de las matemáticas. Un sistema formal no es más que un conjunto de símbolos con los que se forman fórmulas, unos axiomas de los que se parten, y unas reglas para deducir teoremas a partir de los axiomas.

En el caso del MIU, las cadenas se construyen con las tres letras M, I, y U. Solo hay un axioma: MI. Y hay cuatro reglas de inferencia:

• Si una cadena acaba en I, se puede añadir una U. Ejemplo: MI → MIU.
• Todo lo que vaya a la derecha de la M se puede duplicar. Ejemplo: MIU → MIUIU
• Si hay tres Is seguidas, se pueden sustituir por una U. Ejemplo: MIIII → MUI
• Si hay dos Us seguidas, se pueden eliminar. Ejemplo: MUUII → MII

Entonces, se puede proponer al alumnado, como un juego, que deduzcan teoremas en este sistema. Porque vivir sin haber demostrado ningún teorema, es como no haber vivido. Fuera bromas, es una tarea asequible, yo en clase presenté este sistema en 10 minutos y aun así la gente lo pilló y demostraron varios teoremas. En una sesión de 50 minutos se puede perfectamente hacer cosas interesantes con él, dando pie a tratar temas de fundamentos de las matemáticas con una actividad lúdica que aumente la motivación de los alumnos.

Lo más interesante del sistema, en mi opinión, es que es posible encontrar un algoritmo para demostrar cualquier teorema del sistema. Resulta que las cadenas que con un número de Is que sea múltiplo de 3 no son teoremas (esto se puede ver fácilmente de la segunda y la tercera regla, que son las únicas que cambian el número de Is, y en ningún caso puedes conseguir que ese número sea múltiplo de 3). Una vez te das cuenta de eso, se puede encontrar fácilmente un algoritmo en 2 pasos para demostrar cualquier cadena X cuyo número de Is no sea divisible por 3. Supongamos que Ni es el número de Is (así que Ni no es divisible por 3) en X y Nu es el número de Us en X. Los pasos son los siguientes:

1. Consigue una cadena que sea MIII...III con un número de Is igual a Ni+3Nu (este número no es múltiplo de 3, porque Ni no lo es).
2. En la cadena anterior, ir sustituyendo los tripletes de Is adecuados por Us. Como por cada 3 Is obtenemos una U, esto resulta en una cadena con exactamente Ni Is y Nu Us, tal como queríamos.

Este ejercicio es particularmente bueno para trabajar la aritmética modular, que aunque no se suele dar como tal en la ESO o Bachillerato, es perfectamente viable entenderla a estas edades.

Y bueno, ya como ejercicio para el lector, os propongo encontrar la forma de hacer ese paso 1 de ahí arriba. Pista: en el peor de los casos, hay que usar todas las reglas del sistema, pero siempre se empieza aplicando la segunda un montón de veces.